*** Aire d'un triangle

Le cube \(\text{ABCDEFGH}\) a pour arête \(1\) cm.
Le point \(\text I\) est le milieu du segment \([\mathrm{AB}]\) et le point \(\text J\)  est le milieu du segment \([\mathrm{CG}]\) .

On se place dans le repère orthonormé \(\left(\text A~;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\) .

1. Donner les coordonnées des points  \(\text I\) et   \(\text J\)   .

2. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{EJ}}\) est normal au plan  \((\mathrm{FHI})\) .

3. On note \(\text K\) le projeté orthogonal du point  \(\text E\)  sur le plan \((\mathrm{FHI})\) . On admet que  \(\text K\left(\dfrac49~;~\dfrac49~;~\dfrac79\right)\) . Montrer que le volume de la pyramide \(\mathrm{EFHI}\) est \(\dfrac16\) cm \({}^3\) .

4. Soit \(\text L\) le milieu du segment \([\mathrm{EF}]\) .
    a. Déterminer les coordonnées du point \(\text L\) .
    b. Justifier que ce point est le projeté orthogonal du point \(\text I\) sur le plan  \((\mathrm{EFH})\) .
    c. Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle \(\mathrm{FHI}\) .